$$$x^{3} e^{x^{4}}$$$ 的积分

求$$$\int x^{3} e^{x^{4}}\, dx$$$。

设$$$u=x^{4}$$$。

则$$$du=\left(x^{4}\right)^{\prime }dx = 4 x^{3} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$x^{3} dx = \frac{du}{4}$$$。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{x^{3} e^{x^{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{4}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{4}$$

回忆一下 $$$u=x^{4}$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{4} = \frac{e^{{\color{red}{x^{4}}}}}{4}$$

因此，

$$\int{x^{3} e^{x^{4}} d x} = \frac{e^{x^{4}}}{4}$$

加上积分常数：

$$\int{x^{3} e^{x^{4}} d x} = \frac{e^{x^{4}}}{4}+C$$

$$$\int x^{3} e^{x^{4}}\, dx = \frac{e^{x^{4}}}{4} + C$$$A