Intégrale de $$$x^{3} e^{x^{4}}$$$

Déterminez $$$\int x^{3} e^{x^{4}}\, dx$$$.

Soit $$$u=x^{4}$$$.

Alors $$$du=\left(x^{4}\right)^{\prime }dx = 4 x^{3} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$x^{3} dx = \frac{du}{4}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{x^{3} e^{x^{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{4}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{4}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{4}$$

Rappelons que $$$u=x^{4}$$$ :

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{4} = \frac{e^{{\color{red}{x^{4}}}}}{4}$$

Par conséquent,

$$\int{x^{3} e^{x^{4}} d x} = \frac{e^{x^{4}}}{4}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{x^{3} e^{x^{4}} d x} = \frac{e^{x^{4}}}{4}+C$$

$$$\int x^{3} e^{x^{4}}\, dx = \frac{e^{x^{4}}}{4} + C$$$A