$$$e^{\frac{\pi t}{2}}$$$ 的積分

求$$$\int e^{\frac{\pi t}{2}}\, dt$$$。

令 $$$u=\frac{\pi t}{2}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{\pi t}{2}\right)^{\prime }dt = \frac{\pi}{2} dt$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = \frac{2 du}{\pi}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{\frac{\pi t}{2}} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 e^{u}}{\pi} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{2}{\pi}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{2 e^{u}}{\pi} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{e^{u} d u}}{\pi}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{\pi} = \frac{2 {\color{red}{e^{u}}}}{\pi}$$

回顧一下 $$$u=\frac{\pi t}{2}$$$：

$$\frac{2 e^{{\color{red}{u}}}}{\pi} = \frac{2 e^{{\color{red}{\left(\frac{\pi t}{2}\right)}}}}{\pi}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{\pi t}{2}} d t} = \frac{2 e^{\frac{\pi t}{2}}}{\pi}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{\frac{\pi t}{2}} d t} = \frac{2 e^{\frac{\pi t}{2}}}{\pi}+C$$

$$$\int e^{\frac{\pi t}{2}}\, dt = \frac{2 e^{\frac{\pi t}{2}}}{\pi} + C$$$A