$$$e^{\frac{\pi t}{2}}$$$ 的积分

求$$$\int e^{\frac{\pi t}{2}}\, dt$$$。

设$$$u=\frac{\pi t}{2}$$$。

则$$$du=\left(\frac{\pi t}{2}\right)^{\prime }dt = \frac{\pi}{2} dt$$$ (步骤见»)，并有$$$dt = \frac{2 du}{\pi}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{\frac{\pi t}{2}} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 e^{u}}{\pi} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{2}{\pi}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{2 e^{u}}{\pi} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{e^{u} d u}}{\pi}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{\pi} = \frac{2 {\color{red}{e^{u}}}}{\pi}$$

回忆一下 $$$u=\frac{\pi t}{2}$$$:

$$\frac{2 e^{{\color{red}{u}}}}{\pi} = \frac{2 e^{{\color{red}{\left(\frac{\pi t}{2}\right)}}}}{\pi}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{\pi t}{2}} d t} = \frac{2 e^{\frac{\pi t}{2}}}{\pi}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{\frac{\pi t}{2}} d t} = \frac{2 e^{\frac{\pi t}{2}}}{\pi}+C$$

$$$\int e^{\frac{\pi t}{2}}\, dt = \frac{2 e^{\frac{\pi t}{2}}}{\pi} + C$$$A