Intégrale de $$$e^{\frac{\pi t}{2}}$$$

Déterminez $$$\int e^{\frac{\pi t}{2}}\, dt$$$.

Soit $$$u=\frac{\pi t}{2}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{\pi t}{2}\right)^{\prime }dt = \frac{\pi}{2} dt$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dt = \frac{2 du}{\pi}$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{e^{\frac{\pi t}{2}} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 e^{u}}{\pi} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{2}{\pi}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{2 e^{u}}{\pi} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{e^{u} d u}}{\pi}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$\frac{2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{\pi} = \frac{2 {\color{red}{e^{u}}}}{\pi}$$

Rappelons que $$$u=\frac{\pi t}{2}$$$ :

$$\frac{2 e^{{\color{red}{u}}}}{\pi} = \frac{2 e^{{\color{red}{\left(\frac{\pi t}{2}\right)}}}}{\pi}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\frac{\pi t}{2}} d t} = \frac{2 e^{\frac{\pi t}{2}}}{\pi}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\frac{\pi t}{2}} d t} = \frac{2 e^{\frac{\pi t}{2}}}{\pi}+C$$

$$$\int e^{\frac{\pi t}{2}}\, dt = \frac{2 e^{\frac{\pi t}{2}}}{\pi} + C$$$A