$$$e^{\frac{\pi t}{2}}$$$の積分

$$$\int e^{\frac{\pi t}{2}}\, dt$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{\pi t}{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{\pi t}{2}\right)^{\prime }dt = \frac{\pi}{2} dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = \frac{2 du}{\pi}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{e^{\frac{\pi t}{2}} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 e^{u}}{\pi} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{2}{\pi}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{2 e^{u}}{\pi} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{e^{u} d u}}{\pi}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{\pi} = \frac{2 {\color{red}{e^{u}}}}{\pi}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{\pi t}{2}$$$:

$$\frac{2 e^{{\color{red}{u}}}}{\pi} = \frac{2 e^{{\color{red}{\left(\frac{\pi t}{2}\right)}}}}{\pi}$$

したがって、

$$\int{e^{\frac{\pi t}{2}} d t} = \frac{2 e^{\frac{\pi t}{2}}}{\pi}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\frac{\pi t}{2}} d t} = \frac{2 e^{\frac{\pi t}{2}}}{\pi}+C$$

$$$\int e^{\frac{\pi t}{2}}\, dt = \frac{2 e^{\frac{\pi t}{2}}}{\pi} + C$$$A