|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$$\cos{\left(2 x y \right)}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int \cos{\left(2 x y \right)}\, dx$$$。
解答
令 $$$u=2 x y$$$。
則 $$$du=\left(2 x y\right)^{\prime }dx = 2 y dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{2 y}$$$。
因此，
$${\color{red}{\int{\cos{\left(2 x y \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2 y} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2 y}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2 y} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2 y}\right)}}$$
餘弦函數的積分為 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：
$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{2 y} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{2 y}$$
回顧一下 $$$u=2 x y$$$：
$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 y} = \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 x y\right)}} \right)}}{2 y}$$
因此，
$$\int{\cos{\left(2 x y \right)} d x} = \frac{\sin{\left(2 x y \right)}}{2 y}$$
加上積分常數：
$$\int{\cos{\left(2 x y \right)} d x} = \frac{\sin{\left(2 x y \right)}}{2 y}+C$$
答案
$$$\int \cos{\left(2 x y \right)}\, dx = \frac{\sin{\left(2 x y \right)}}{2 y} + C$$$A