$$$\cos{\left(2 x y \right)}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \cos{\left(2 x y \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=2 x y$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 x y\right)^{\prime }dx = 2 y dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{2 y}$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\cos{\left(2 x y \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2 y} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2 y}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2 y} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2 y}\right)}}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{2 y} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{2 y}$$

次のことを思い出してください $$$u=2 x y$$$:

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 y} = \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 x y\right)}} \right)}}{2 y}$$

したがって、

$$\int{\cos{\left(2 x y \right)} d x} = \frac{\sin{\left(2 x y \right)}}{2 y}$$

積分定数を加える:

$$\int{\cos{\left(2 x y \right)} d x} = \frac{\sin{\left(2 x y \right)}}{2 y}+C$$

$$$\int \cos{\left(2 x y \right)}\, dx = \frac{\sin{\left(2 x y \right)}}{2 y} + C$$$A