$$$\cos{\left(2 x y \right)}$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int \cos{\left(2 x y \right)}\, dx$$$。

设$$$u=2 x y$$$。

则$$$du=\left(2 x y\right)^{\prime }dx = 2 y dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{2 y}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\cos{\left(2 x y \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2 y} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{2 y}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2 y} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2 y}\right)}}$$

余弦函数的积分为 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{2 y} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{2 y}$$

回忆一下 $$$u=2 x y$$$:

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 y} = \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 x y\right)}} \right)}}{2 y}$$

因此，

$$\int{\cos{\left(2 x y \right)} d x} = \frac{\sin{\left(2 x y \right)}}{2 y}$$

加上积分常数：

$$\int{\cos{\left(2 x y \right)} d x} = \frac{\sin{\left(2 x y \right)}}{2 y}+C$$

$$$\int \cos{\left(2 x y \right)}\, dx = \frac{\sin{\left(2 x y \right)}}{2 y} + C$$$A