$$$\sec^{5}{\left(u \right)}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \sec^{5}{\left(u \right)}\, du$$$.

$$$\int{\sec^{5}{\left(u \right)} d u}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{m} \operatorname{dv} = \operatorname{m}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dm}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{m}=\sec^{3}{\left(u \right)}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=\sec^{2}{\left(u \right)} du$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{dm}=\left(\sec^{3}{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=3 \tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)} du$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}=\tan{\left(u \right)}$$$ (adımlar için bkz. »).

O halde,

$$\int{\sec^{5}{\left(u \right)} d u}=\sec^{3}{\left(u \right)} \cdot \tan{\left(u \right)}-\int{\tan{\left(u \right)} \cdot 3 \tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)} d u}=\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)} - \int{3 \tan^{2}{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)} d u}$$

Sabit sayıyı dışarı çıkarın:

$$\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)} - \int{3 \tan^{2}{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)} d u}=\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)} - 3 \int{\tan^{2}{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)} d u}$$

Formülü $$$\tan^{2}{\left(u \right)} = \sec^{2}{\left(u \right)} - 1$$$ uygulayın:

$$\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)} - 3 \int{\tan^{2}{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)} d u}=\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)} - 3 \int{\left(\sec^{2}{\left(u \right)} - 1\right) \sec^{3}{\left(u \right)} d u}$$

Genişletin:

$$\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)} - 3 \int{\left(\sec^{2}{\left(u \right)} - 1\right) \sec^{3}{\left(u \right)} d u}=\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)} - 3 \int{\left(\sec^{5}{\left(u \right)} - \sec^{3}{\left(u \right)}\right)d u}$$

Farkın integrali, integrallerin farkıdır:

$$\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)} - 3 \int{\left(\sec^{5}{\left(u \right)} - \sec^{3}{\left(u \right)}\right)d u}=\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)} + 3 \int{\sec^{3}{\left(u \right)} d u} - 3 \int{\sec^{5}{\left(u \right)} d u}$$

Dolayısıyla, integrale göre aşağıdaki basit doğrusal denklemi elde ederiz:

$${\color{red}{\int{\sec^{5}{\left(u \right)} d u}}}=\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)} + 3 \int{\sec^{3}{\left(u \right)} d u} - 3 {\color{red}{\int{\sec^{5}{\left(u \right)} d u}}}$$

Bunu çözdüğümüzde, şunu elde ederiz:

$$\int{\sec^{5}{\left(u \right)} d u}=\frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 \int{\sec^{3}{\left(u \right)} d u}}{4}$$

$$$\int{\sec^{3}{\left(u \right)} d u}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{m} \operatorname{dv} = \operatorname{m}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dm}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{m}=\sec{\left(u \right)}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=\sec^{2}{\left(u \right)} du$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{dm}=\left(\sec{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)} du$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}=\tan{\left(u \right)}$$$ (adımlar için bkz. »).

Dolayısıyla,

$$\int{\sec^{3}{\left(u \right)} d u}=\sec{\left(u \right)} \cdot \tan{\left(u \right)}-\int{\tan{\left(u \right)} \cdot \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)} d u}=\tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)} - \int{\tan^{2}{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)} d u}$$

Formülü $$$\tan^{2}{\left(u \right)} = \sec^{2}{\left(u \right)} - 1$$$ uygulayın:

$$\tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)} - \int{\tan^{2}{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)} d u}=\tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)} - \int{\left(\sec^{2}{\left(u \right)} - 1\right) \sec{\left(u \right)} d u}$$

Genişletin:

$$\tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)} - \int{\left(\sec^{2}{\left(u \right)} - 1\right) \sec{\left(u \right)} d u}=\tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)} - \int{\left(\sec^{3}{\left(u \right)} - \sec{\left(u \right)}\right)d u}$$

Farkın integrali, integrallerin farkıdır:

$$\tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)} - \int{\left(\sec^{3}{\left(u \right)} - \sec{\left(u \right)}\right)d u}=\tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)} + \int{\sec{\left(u \right)} d u} - \int{\sec^{3}{\left(u \right)} d u}$$

Dolayısıyla, integrale göre aşağıdaki basit doğrusal denklemi elde ederiz:

$${\color{red}{\int{\sec^{3}{\left(u \right)} d u}}}=\tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)} + \int{\sec{\left(u \right)} d u} - {\color{red}{\int{\sec^{3}{\left(u \right)} d u}}}$$

Bunu çözdüğümüzde, şunu elde ederiz:

$$\int{\sec^{3}{\left(u \right)} d u}=\frac{\tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{2} + \frac{\int{\sec{\left(u \right)} d u}}{2}$$

Dolayısıyla,

$$\frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 {\color{red}{\int{\sec^{3}{\left(u \right)} d u}}}}{4} = \frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 {\color{red}{\left(\frac{\tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{2} + \frac{\int{\sec{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{4}$$

Sekantı $$$\sec\left(u\right)=\frac{1}{\cos\left(u\right)}$$$ olarak yeniden yazın:

$$\frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{8} + \frac{3 {\color{red}{\int{\sec{\left(u \right)} d u}}}}{8} = \frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{8} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)}} d u}}}}{8}$$

Kosinüsü, $$$\cos\left(u\right)=\sin\left(u + \frac{\pi}{2}\right)$$$ formülünü kullanarak sinüs cinsinden yeniden yazın ve ardından sinüsü çift açı formülü $$$\sin\left(u\right)=2\sin\left(\frac{u}{2}\right)\cos\left(\frac{u}{2}\right)$$$ kullanarak yeniden yazın.:

$$\frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{8} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)}} d u}}}}{8} = \frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{8} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{8}$$

Payı ve paydayı $$$\sec^2\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$$ ile çarpın.:

$$\frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{8} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{8} = \frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{8} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{8}$$

$$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$ olsun.

Böylece $$$dv=\left(\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)^{\prime }du = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} du$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} du = 2 dv$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$$\frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{8} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{8} = \frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{8} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{8}$$

$$$\frac{1}{v}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{8} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{8} = \frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{8} + \frac{3 {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{8}$$

Hatırlayın ki $$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$:

$$\frac{3 \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{8} + \frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{8} = \frac{3 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}}}\right| \right)}}{8} + \frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{8}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\sec^{5}{\left(u \right)} d u} = \frac{3 \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{8} + \frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{8}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\sec^{5}{\left(u \right)} d u} = \frac{3 \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{8} + \frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{8}+C$$

$$$\int \sec^{5}{\left(u \right)}\, du = \left(\frac{3 \ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|\right)}{8} + \frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{3}{\left(u \right)}}{4} + \frac{3 \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)}}{8}\right) + C$$$A