Integraal van $$$e^{- \frac{x}{y}}$$$ met betrekking tot $$$x$$$

Bepaal $$$\int e^{- \frac{x}{y}}\, dx$$$.

Zij $$$u=- \frac{x}{y}$$$.

Dan $$$du=\left(- \frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{y} dx$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dx = - y du$$$.

De integraal kan worden herschreven als

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- y e^{u}\right)d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=- y$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- y e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- y \int{e^{u} d u}\right)}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - y {\color{red}{e^{u}}}$$

We herinneren eraan dat $$$u=- \frac{x}{y}$$$:

$$- y e^{{\color{red}{u}}} = - y e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{y}\right)}}}$$

Dus,

$$\int{e^{- \frac{x}{y}} d x} = - y e^{- \frac{x}{y}}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{e^{- \frac{x}{y}} d x} = - y e^{- \frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x}{y}}\, dx = - y e^{- \frac{x}{y}} + C$$$A