Integrale di $$$e^{- \frac{x}{y}}$$$ rispetto a $$$x$$$

Trova $$$\int e^{- \frac{x}{y}}\, dx$$$.

Sia $$$u=- \frac{x}{y}$$$.

Quindi $$$du=\left(- \frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{y} dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = - y du$$$.

Quindi,

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- y e^{u}\right)d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=- y$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- y e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- y \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - y {\color{red}{e^{u}}}$$

Ricordiamo che $$$u=- \frac{x}{y}$$$:

$$- y e^{{\color{red}{u}}} = - y e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{y}\right)}}}$$

Pertanto,

$$\int{e^{- \frac{x}{y}} d x} = - y e^{- \frac{x}{y}}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{e^{- \frac{x}{y}} d x} = - y e^{- \frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x}{y}}\, dx = - y e^{- \frac{x}{y}} + C$$$A