Integral de $$$e^{- \frac{x}{y}}$$$ con respecto a $$$x$$$

Halla $$$\int e^{- \frac{x}{y}}\, dx$$$.

Sea $$$u=- \frac{x}{y}$$$.

Entonces $$$du=\left(- \frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{y} dx$$$ (los pasos pueden verse »), y obtenemos que $$$dx = - y du$$$.

La integral puede reescribirse como

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- y e^{u}\right)d u}}}$$

Aplica la regla del factor constante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=- y$$$ y $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- y e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- y \int{e^{u} d u}\right)}}$$

La integral de la función exponencial es $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - y {\color{red}{e^{u}}}$$

Recordemos que $$$u=- \frac{x}{y}$$$:

$$- y e^{{\color{red}{u}}} = - y e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{y}\right)}}}$$

Por lo tanto,

$$\int{e^{- \frac{x}{y}} d x} = - y e^{- \frac{x}{y}}$$

Añade la constante de integración:

$$\int{e^{- \frac{x}{y}} d x} = - y e^{- \frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x}{y}}\, dx = - y e^{- \frac{x}{y}} + C$$$A