$$$e^{- \frac{x}{y}}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int e^{- \frac{x}{y}}\, dx$$$。

令 $$$u=- \frac{x}{y}$$$。

則 $$$du=\left(- \frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{y} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - y du$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- y e^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- y$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- y e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- y \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - y {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=- \frac{x}{y}$$$：

$$- y e^{{\color{red}{u}}} = - y e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{y}\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{- \frac{x}{y}} d x} = - y e^{- \frac{x}{y}}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{- \frac{x}{y}} d x} = - y e^{- \frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x}{y}}\, dx = - y e^{- \frac{x}{y}} + C$$$A