$$$e^{- \frac{x}{y}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int e^{- \frac{x}{y}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=- \frac{x}{y}$$$ とする。

すると $$$du=\left(- \frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{y} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - y du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- y e^{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- y$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- y e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- y \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - y {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- \frac{x}{y}$$$:

$$- y e^{{\color{red}{u}}} = - y e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{y}\right)}}}$$

したがって、

$$\int{e^{- \frac{x}{y}} d x} = - y e^{- \frac{x}{y}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{- \frac{x}{y}} d x} = - y e^{- \frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x}{y}}\, dx = - y e^{- \frac{x}{y}} + C$$$A