Integraal van $$$20 e^{- \frac{x}{2}}$$$

Bepaal $$$\int 20 e^{- \frac{x}{2}}\, dx$$$.

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ toe met $$$c=20$$$ en $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}$$$:

$${\color{red}{\int{20 e^{- \frac{x}{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(20 \int{e^{- \frac{x}{2}} d x}\right)}}$$

Zij $$$u=- \frac{x}{2}$$$.

Dan $$$du=\left(- \frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = - \frac{dx}{2}$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dx = - 2 du$$$.

De integraal wordt

$$20 {\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{2}} d x}}} = 20 {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=-2$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$20 {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}} = 20 {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 40 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 40 {\color{red}{e^{u}}}$$

We herinneren eraan dat $$$u=- \frac{x}{2}$$$:

$$- 40 e^{{\color{red}{u}}} = - 40 e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{2}\right)}}}$$

Dus,

$$\int{20 e^{- \frac{x}{2}} d x} = - 40 e^{- \frac{x}{2}}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{20 e^{- \frac{x}{2}} d x} = - 40 e^{- \frac{x}{2}}+C$$

$$$\int 20 e^{- \frac{x}{2}}\, dx = - 40 e^{- \frac{x}{2}} + C$$$A