Funktion $$$20 e^{- \frac{x}{2}}$$$ integraali

Määritä $$$\int 20 e^{- \frac{x}{2}}\, dx$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=20$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}$$$:

$${\color{red}{\int{20 e^{- \frac{x}{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(20 \int{e^{- \frac{x}{2}} d x}\right)}}$$

Olkoon $$$u=- \frac{x}{2}$$$.

Tällöin $$$du=\left(- \frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = - \frac{dx}{2}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = - 2 du$$$.

Integraali voidaan kirjoittaa muotoon

$$20 {\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{2}} d x}}} = 20 {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=-2$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$20 {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}} = 20 {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 40 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 40 {\color{red}{e^{u}}}$$

Muista, että $$$u=- \frac{x}{2}$$$:

$$- 40 e^{{\color{red}{u}}} = - 40 e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{2}\right)}}}$$

Näin ollen,

$$\int{20 e^{- \frac{x}{2}} d x} = - 40 e^{- \frac{x}{2}}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{20 e^{- \frac{x}{2}} d x} = - 40 e^{- \frac{x}{2}}+C$$

$$$\int 20 e^{- \frac{x}{2}}\, dx = - 40 e^{- \frac{x}{2}} + C$$$A