Integralen av $$$20 e^{- \frac{x}{2}}$$$

Bestäm $$$\int 20 e^{- \frac{x}{2}}\, dx$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=20$$$ och $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}$$$:

$${\color{red}{\int{20 e^{- \frac{x}{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(20 \int{e^{- \frac{x}{2}} d x}\right)}}$$

Låt $$$u=- \frac{x}{2}$$$ vara.

Då $$$du=\left(- \frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = - \frac{dx}{2}$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = - 2 du$$$.

Integralen kan omskrivas som

$$20 {\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{2}} d x}}} = 20 {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=-2$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$20 {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}} = 20 {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 40 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 40 {\color{red}{e^{u}}}$$

Kom ihåg att $$$u=- \frac{x}{2}$$$:

$$- 40 e^{{\color{red}{u}}} = - 40 e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{2}\right)}}}$$

Alltså,

$$\int{20 e^{- \frac{x}{2}} d x} = - 40 e^{- \frac{x}{2}}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{20 e^{- \frac{x}{2}} d x} = - 40 e^{- \frac{x}{2}}+C$$

$$$\int 20 e^{- \frac{x}{2}}\, dx = - 40 e^{- \frac{x}{2}} + C$$$A