Intégrale de $$$20 e^{- \frac{x}{2}}$$$

Déterminez $$$\int 20 e^{- \frac{x}{2}}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=20$$$ et $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}$$$ :

$${\color{red}{\int{20 e^{- \frac{x}{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(20 \int{e^{- \frac{x}{2}} d x}\right)}}$$

Soit $$$u=- \frac{x}{2}$$$.

Alors $$$du=\left(- \frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = - \frac{dx}{2}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = - 2 du$$$.

Donc,

$$20 {\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{2}} d x}}} = 20 {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-2$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$20 {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}} = 20 {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- 40 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 40 {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=- \frac{x}{2}$$$ :

$$- 40 e^{{\color{red}{u}}} = - 40 e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{2}\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{20 e^{- \frac{x}{2}} d x} = - 40 e^{- \frac{x}{2}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{20 e^{- \frac{x}{2}} d x} = - 40 e^{- \frac{x}{2}}+C$$

$$$\int 20 e^{- \frac{x}{2}}\, dx = - 40 e^{- \frac{x}{2}} + C$$$A