$$$\frac{x}{\ln\left(x\right)}$$$의 적분

$$$\int \frac{x}{\ln\left(x\right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\ln{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dx}{x} = du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{x}{\ln{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{2 u}}{u} d u}}}$$

$$$v=2 u$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(2 u\right)^{\prime }du = 2 du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = \frac{dv}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{e^{2 u}}{u} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{v} d v}}}$$

이 적분(지수적분)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{v} d v}}} = {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(v \right)}}}$$

다음 $$$v=2 u$$$을 기억하라:

$$\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{v}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(2 u\right)}} \right)}$$

다음 $$$u=\ln{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$\operatorname{Ei}{\left(2 {\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left(2 {\color{red}{\ln{\left(x \right)}}} \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{x}{\ln{\left(x \right)}} d x} = \operatorname{Ei}{\left(2 \ln{\left(x \right)} \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{x}{\ln{\left(x \right)}} d x} = \operatorname{Ei}{\left(2 \ln{\left(x \right)} \right)}+C$$

$$$\int \frac{x}{\ln\left(x\right)}\, dx = \operatorname{Ei}{\left(2 \ln\left(x\right) \right)} + C$$$A