Funktion $$$\frac{x}{\ln\left(x\right)}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{x}{\ln\left(x\right)}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=\ln{\left(x \right)}$$$.

Tällöin $$$du=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$\frac{dx}{x} = du$$$.

Integraali muuttuu muotoon

$${\color{red}{\int{\frac{x}{\ln{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{2 u}}{u} d u}}}$$

Olkoon $$$v=2 u$$$.

Tällöin $$$dv=\left(2 u\right)^{\prime }du = 2 du$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$du = \frac{dv}{2}$$$.

Integraali muuttuu muotoon

$${\color{red}{\int{\frac{e^{2 u}}{u} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{v} d v}}}$$

Tällä integraalilla (Eksponentti-integraali) ei ole suljettua muotoa:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{v} d v}}} = {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(v \right)}}}$$

Muista, että $$$v=2 u$$$:

$$\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{v}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(2 u\right)}} \right)}$$

Muista, että $$$u=\ln{\left(x \right)}$$$:

$$\operatorname{Ei}{\left(2 {\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left(2 {\color{red}{\ln{\left(x \right)}}} \right)}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{x}{\ln{\left(x \right)}} d x} = \operatorname{Ei}{\left(2 \ln{\left(x \right)} \right)}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{x}{\ln{\left(x \right)}} d x} = \operatorname{Ei}{\left(2 \ln{\left(x \right)} \right)}+C$$

$$$\int \frac{x}{\ln\left(x\right)}\, dx = \operatorname{Ei}{\left(2 \ln\left(x\right) \right)} + C$$$A