$$$\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}}$$$의 적분

$$$\int \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

분자와 분모에 $$$\cos^{4}{\left(x \right)}$$$를 곱하고 $$$\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}$$$를 $$$\tan^{4}{\left(x \right)}$$$로 변환합니다:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\tan^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$

$$$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$$을 $$$\sec^{2}{\left(x \right)}$$$로 변환:

$${\color{red}{\int{\frac{\tan^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} d x}}}$$

$$$u=\tan{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\tan{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \sec^{2}{\left(x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sec^{2}{\left(x \right)} dx = du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$${\color{red}{\int{\tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{u^{4} d u}}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=4$$$에 적용합니다:

$${\color{red}{\int{u^{4} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{1 + 4}}{1 + 4}}}={\color{red}{\left(\frac{u^{5}}{5}\right)}}$$

다음 $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{5}}{5} = \frac{{\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}^{5}}{5}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}} d x} = \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}} d x} = \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}+C$$

$$$\int \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}}\, dx = \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} + C$$$A