$$$\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Payı ve paydayı $$$\cos^{4}{\left(x \right)}$$$ ile çarpın ve $$$\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}$$$ ifadesini $$$\tan^{4}{\left(x \right)}$$$ biçimine dönüştürün:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\tan^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$

$$$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$$ ifadesini $$$\sec^{2}{\left(x \right)}$$$ biçimine dönüştür:

$${\color{red}{\int{\frac{\tan^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} d x}}}$$

$$$u=\tan{\left(x \right)}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\tan{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \sec^{2}{\left(x \right)} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\sec^{2}{\left(x \right)} dx = du$$$ elde ederiz.

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$${\color{red}{\int{\tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{u^{4} d u}}}$$

Kuvvet kuralını $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=4$$$ ile uygulayın:

$${\color{red}{\int{u^{4} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{1 + 4}}{1 + 4}}}={\color{red}{\left(\frac{u^{5}}{5}\right)}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{5}}{5} = \frac{{\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}^{5}}{5}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}} d x} = \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}} d x} = \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}+C$$

$$$\int \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}}\, dx = \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} + C$$$A