$$$x$$$에 대한 $$$\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\frac{x}{\left|{a}\right|}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{x}{\left|{a}\right|}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{\left|{a}\right|}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \left|{a}\right| du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\left|{a}\right|}{a^{2} \left(u^{2} + 1\right)} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{\left|{a}\right|}{a^{2}}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\left|{a}\right|}{a^{2} \left(u^{2} + 1\right)} d u}}} = {\color{red}{\frac{\left|{a}\right| \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}{a^{2}}}}$$

$$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{\left|{a}\right| {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}}{a^{2}} = \frac{\left|{a}\right| {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}}{a^{2}}$$

다음 $$$u=\frac{x}{\left|{a}\right|}$$$을 기억하라:

$$\frac{\left|{a}\right| \operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{a^{2}} = \frac{\left|{a}\right| \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\frac{x}{\left|{a}\right|}}} \right)}}{a^{2}}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x} = \frac{\left|{a}\right| \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{a^{2}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x} = \frac{\left|{a}\right| \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{a^{2}}+C$$

$$$\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}}\, dx = \frac{\left|{a}\right| \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{a^{2}} + C$$$A