$$$8 \ln\left(e^{2}\right) - \ln\left(e^{12}\right)$$$의 적분

$$$\int \left(8 \ln\left(e^{2}\right) - \ln\left(e^{12}\right)\right)\, de$$$을(를) 구하시오.

입력이 다음과 같이 다시 쓰입니다: $$$\int{\left(8 \ln{\left(e^{2} \right)} - \ln{\left(e^{12} \right)}\right)d e}=\int{4 \ln{\left(e \right)} d e}$$$.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(e \right)}\, de = c \int f{\left(e \right)}\, de$$$을 $$$c=4$$$와 $$$f{\left(e \right)} = \ln{\left(e \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{4 \ln{\left(e \right)} d e}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\ln{\left(e \right)} d e}\right)}}$$

적분 $$$\int{\ln{\left(e \right)} d e}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(e \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=de$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(e \right)}\right)^{\prime }de=\frac{de}{e}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d e}=e$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$4 {\color{red}{\int{\ln{\left(e \right)} d e}}}=4 {\color{red}{\left(\ln{\left(e \right)} \cdot e-\int{e \cdot \frac{1}{e} d e}\right)}}=4 {\color{red}{\left(e \ln{\left(e \right)} - \int{1 d e}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, de = c e$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$4 e \ln{\left(e \right)} - 4 {\color{red}{\int{1 d e}}} = 4 e \ln{\left(e \right)} - 4 {\color{red}{e}}$$

따라서,

$$\int{4 \ln{\left(e \right)} d e} = 4 e \ln{\left(e \right)} - 4 e$$

간단히 하시오:

$$\int{4 \ln{\left(e \right)} d e} = 4 e \left(\ln{\left(e \right)} - 1\right)$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{4 \ln{\left(e \right)} d e} = 4 e \left(\ln{\left(e \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \left(8 \ln\left(e^{2}\right) - \ln\left(e^{12}\right)\right)\, de = 4 e \left(\ln\left(e\right) - 1\right) + C$$$A