$$$8 \ln\left(e^{2}\right) - \ln\left(e^{12}\right)$$$ 的積分

求$$$\int \left(8 \ln\left(e^{2}\right) - \ln\left(e^{12}\right)\right)\, de$$$。

已將輸入重寫為：$$$\int{\left(8 \ln{\left(e^{2} \right)} - \ln{\left(e^{12} \right)}\right)d e}=\int{4 \ln{\left(e \right)} d e}$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(e \right)}\, de = c \int f{\left(e \right)}\, de$$$，使用 $$$c=4$$$ 與 $$$f{\left(e \right)} = \ln{\left(e \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{4 \ln{\left(e \right)} d e}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\ln{\left(e \right)} d e}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{\ln{\left(e \right)} d e}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(e \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=de$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(e \right)}\right)^{\prime }de=\frac{de}{e}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d e}=e$$$（步驟見 »）。

所以，

$$4 {\color{red}{\int{\ln{\left(e \right)} d e}}}=4 {\color{red}{\left(\ln{\left(e \right)} \cdot e-\int{e \cdot \frac{1}{e} d e}\right)}}=4 {\color{red}{\left(e \ln{\left(e \right)} - \int{1 d e}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, de = c e$$$：

$$4 e \ln{\left(e \right)} - 4 {\color{red}{\int{1 d e}}} = 4 e \ln{\left(e \right)} - 4 {\color{red}{e}}$$

因此，

$$\int{4 \ln{\left(e \right)} d e} = 4 e \ln{\left(e \right)} - 4 e$$

化簡：

$$\int{4 \ln{\left(e \right)} d e} = 4 e \left(\ln{\left(e \right)} - 1\right)$$

加上積分常數：

$$\int{4 \ln{\left(e \right)} d e} = 4 e \left(\ln{\left(e \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \left(8 \ln\left(e^{2}\right) - \ln\left(e^{12}\right)\right)\, de = 4 e \left(\ln\left(e\right) - 1\right) + C$$$A