$$$8 \ln\left(e^{2}\right) - \ln\left(e^{12}\right)$$$の積分

$$$\int \left(8 \ln\left(e^{2}\right) - \ln\left(e^{12}\right)\right)\, de$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\left(8 \ln{\left(e^{2} \right)} - \ln{\left(e^{12} \right)}\right)d e}=\int{4 \ln{\left(e \right)} d e}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(e \right)}\, de = c \int f{\left(e \right)}\, de$$$ を、$$$c=4$$$ と $$$f{\left(e \right)} = \ln{\left(e \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{4 \ln{\left(e \right)} d e}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\ln{\left(e \right)} d e}\right)}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(e \right)} d e}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(e \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=de$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(e \right)}\right)^{\prime }de=\frac{de}{e}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d e}=e$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$$4 {\color{red}{\int{\ln{\left(e \right)} d e}}}=4 {\color{red}{\left(\ln{\left(e \right)} \cdot e-\int{e \cdot \frac{1}{e} d e}\right)}}=4 {\color{red}{\left(e \ln{\left(e \right)} - \int{1 d e}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, de = c e$$$ を適用する:

$$4 e \ln{\left(e \right)} - 4 {\color{red}{\int{1 d e}}} = 4 e \ln{\left(e \right)} - 4 {\color{red}{e}}$$

したがって、

$$\int{4 \ln{\left(e \right)} d e} = 4 e \ln{\left(e \right)} - 4 e$$

簡単化せよ:

$$\int{4 \ln{\left(e \right)} d e} = 4 e \left(\ln{\left(e \right)} - 1\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{4 \ln{\left(e \right)} d e} = 4 e \left(\ln{\left(e \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \left(8 \ln\left(e^{2}\right) - \ln\left(e^{12}\right)\right)\, de = 4 e \left(\ln\left(e\right) - 1\right) + C$$$A