$$$x$$$에 대한 $$$e^{- x^{2} y^{2}}$$$의 적분

$$$\int e^{- x^{2} y^{2}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=x \left|{y}\right|$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(x \left|{y}\right|\right)^{\prime }dx = \left|{y}\right| dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{\left|{y}\right|}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{e^{- x^{2} y^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{- u^{2}}}{\left|{y}\right|} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{\left|{y}\right|}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = e^{- u^{2}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- u^{2}}}{\left|{y}\right|} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{- u^{2}} d u}}{\left|{y}\right|}}}$$

이 적분(오차 함수)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- u^{2}} d u}}}}{\left|{y}\right|} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{\left|{y}\right|}$$

다음 $$$u=x \left|{y}\right|$$$을 기억하라:

$$\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \left|{y}\right|} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{x \left|{y}\right|}} \right)}}{2 \left|{y}\right|}$$

따라서,

$$\int{e^{- x^{2} y^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \left|{y}\right| \right)}}{2 \left|{y}\right|}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{e^{- x^{2} y^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \left|{y}\right| \right)}}{2 \left|{y}\right|}+C$$

$$$\int e^{- x^{2} y^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \left|{y}\right| \right)}}{2 \left|{y}\right|} + C$$$A