$$$e^{- x^{2} y^{2}}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int e^{- x^{2} y^{2}}\, dx$$$。

令 $$$u=x \left|{y}\right|$$$。

則 $$$du=\left(x \left|{y}\right|\right)^{\prime }dx = \left|{y}\right| dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{\left|{y}\right|}$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{e^{- x^{2} y^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{- u^{2}}}{\left|{y}\right|} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{\left|{y}\right|}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{- u^{2}}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- u^{2}}}{\left|{y}\right|} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{- u^{2}} d u}}{\left|{y}\right|}}}$$

此積分（誤差函數）不存在閉式表示：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- u^{2}} d u}}}}{\left|{y}\right|} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{\left|{y}\right|}$$

回顧一下 $$$u=x \left|{y}\right|$$$：

$$\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \left|{y}\right|} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{x \left|{y}\right|}} \right)}}{2 \left|{y}\right|}$$

因此，

$$\int{e^{- x^{2} y^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \left|{y}\right| \right)}}{2 \left|{y}\right|}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{- x^{2} y^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \left|{y}\right| \right)}}{2 \left|{y}\right|}+C$$

$$$\int e^{- x^{2} y^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \left|{y}\right| \right)}}{2 \left|{y}\right|} + C$$$A