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$$$e^{- x^{2} y^{2}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分
入力内容
$$$\int e^{- x^{2} y^{2}}\, dx$$$ を求めよ。
解答
$$$u=x \left|{y}\right|$$$ とする。
すると $$$du=\left(x \left|{y}\right|\right)^{\prime }dx = \left|{y}\right| dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{\left|{y}\right|}$$$ となります。
したがって、
$${\color{red}{\int{e^{- x^{2} y^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{- u^{2}}}{\left|{y}\right|} d u}}}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{\left|{y}\right|}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{- u^{2}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{e^{- u^{2}}}{\left|{y}\right|} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{- u^{2}} d u}}{\left|{y}\right|}}}$$
この積分（誤差関数）には閉形式はありません:
$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- u^{2}} d u}}}}{\left|{y}\right|} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{\left|{y}\right|}$$
次のことを思い出してください $$$u=x \left|{y}\right|$$$:
$$\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \left|{y}\right|} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{x \left|{y}\right|}} \right)}}{2 \left|{y}\right|}$$
したがって、
$$\int{e^{- x^{2} y^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \left|{y}\right| \right)}}{2 \left|{y}\right|}$$
積分定数を加える:
$$\int{e^{- x^{2} y^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \left|{y}\right| \right)}}{2 \left|{y}\right|}+C$$
解答
$$$\int e^{- x^{2} y^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \left|{y}\right| \right)}}{2 \left|{y}\right|} + C$$$A