$$$\frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

분자와 분모에 사인을 한 번씩 곱하고, $$$\alpha=x$$$에 대해 $$$\sin^2\left(\alpha \right)=-\cos^2\left(\alpha \right)+1$$$ 공식을 사용하여 나머지는 모두 코사인으로 나타내세요:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}} d x}}}$$

$$$u=\cos{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = - \sin{\left(x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sin{\left(x \right)} dx = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u \left(1 - u^{2}\right)}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u \left(1 - u^{2}\right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u \left(1 - u^{2}\right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u \left(1 - u^{2}\right)} d u}\right)}}$$

$$$v=1 - u^{2}$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(1 - u^{2}\right)^{\prime }du = - 2 u du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$u du = - \frac{dv}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u \left(1 - u^{2}\right)} d u}}} = - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 v \left(v - 1\right)} d v}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v \left(v - 1\right)}$$$에 적용하세요:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{2 v \left(v - 1\right)} d v}}} = - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v \left(v - 1\right)} d v}}{2}\right)}}$$

부분분수분해를 수행합니다(단계는 »에서 볼 수 있습니다):

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v \left(v - 1\right)} d v}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{1}{v - 1} - \frac{1}{v}\right)d v}}}}{2}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$- \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{1}{v - 1} - \frac{1}{v}\right)d v}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{v} d v} + \int{\frac{1}{v - 1} d v}\right)}}}{2}$$

$$$w=v - 1$$$라 하자.

그러면 $$$dw=\left(v - 1\right)^{\prime }dv = 1 dv$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dv = dw$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v - 1} d v}}}}{2} = \frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{w} d w}}}}{2}$$

$$$\frac{1}{w}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{w} d w} = \ln{\left(\left|{w}\right| \right)}$$$:

$$\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{w} d w}}}}{2} = \frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{w}\right| \right)}}}}{2}$$

다음 $$$w=v - 1$$$을 기억하라:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{w}}}\right| \right)}}{2} + \frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(v - 1\right)}}}\right| \right)}}{2} + \frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{v - 1}\right| \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} = - \frac{\ln{\left(\left|{v - 1}\right| \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2}$$

다음 $$$v=1 - u^{2}$$$을 기억하라:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} = - \frac{\ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{\left(1 - u^{2}\right)}}}\right| \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(1 - u^{2}\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

다음 $$$u=\cos{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{\ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{u}}^{2}}\right| \right)}}{2} - \frac{\ln{\left({\color{red}{u}}^{2} \right)}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}^{2}}\right| \right)}}{2} - \frac{\ln{\left({\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}^{2} \right)}}{2}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}} d x} = - \frac{\ln{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(\left|{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1}\right| \right)}}{2}$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\, dx = \left(\frac{\ln\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{2} - \ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)\right) + C$$$A