$$$x$$$에 대한 $$$a^{\frac{x}{b}}$$$의 적분

$$$\int a^{\frac{x}{b}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\frac{x}{b}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{x}{b}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{b}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = b du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{a^{\frac{x}{b}} d x}}} = {\color{red}{\int{a^{u} b d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=b$$$와 $$$f{\left(u \right)} = a^{u}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{a^{u} b d u}}} = {\color{red}{b \int{a^{u} d u}}}$$

Apply the exponential rule $$$\int{a^{u} d u} = \frac{a^{u}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=a$$$:

$$b {\color{red}{\int{a^{u} d u}}} = b {\color{red}{\frac{a^{u}}{\ln{\left(a \right)}}}}$$

다음 $$$u=\frac{x}{b}$$$을 기억하라:

$$\frac{b a^{{\color{red}{u}}}}{\ln{\left(a \right)}} = \frac{b a^{{\color{red}{\frac{x}{b}}}}}{\ln{\left(a \right)}}$$

따라서,

$$\int{a^{\frac{x}{b}} d x} = \frac{a^{\frac{x}{b}} b}{\ln{\left(a \right)}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{a^{\frac{x}{b}} d x} = \frac{a^{\frac{x}{b}} b}{\ln{\left(a \right)}}+C$$

$$$\int a^{\frac{x}{b}}\, dx = \frac{a^{\frac{x}{b}} b}{\ln\left(a\right)} + C$$$A