$$$a^{\frac{x}{b}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int a^{\frac{x}{b}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{x}{b}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{b}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{b}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = b du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{a^{\frac{x}{b}} d x}}} = {\color{red}{\int{a^{u} b d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=b$$$ と $$$f{\left(u \right)} = a^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{a^{u} b d u}}} = {\color{red}{b \int{a^{u} d u}}}$$

Apply the exponential rule $$$\int{a^{u} d u} = \frac{a^{u}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=a$$$:

$$b {\color{red}{\int{a^{u} d u}}} = b {\color{red}{\frac{a^{u}}{\ln{\left(a \right)}}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{b}$$$:

$$\frac{b a^{{\color{red}{u}}}}{\ln{\left(a \right)}} = \frac{b a^{{\color{red}{\frac{x}{b}}}}}{\ln{\left(a \right)}}$$

したがって、

$$\int{a^{\frac{x}{b}} d x} = \frac{a^{\frac{x}{b}} b}{\ln{\left(a \right)}}$$

積分定数を加える:

$$\int{a^{\frac{x}{b}} d x} = \frac{a^{\frac{x}{b}} b}{\ln{\left(a \right)}}+C$$

$$$\int a^{\frac{x}{b}}\, dx = \frac{a^{\frac{x}{b}} b}{\ln\left(a\right)} + C$$$A