$$$\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$x=\frac{\sqrt{5} \cosh{\left(u \right)}}{2}$$$라 하자.

따라서 $$$dx=\left(\frac{\sqrt{5} \cosh{\left(u \right)}}{2}\right)^{\prime }du = \frac{\sqrt{5} \sinh{\left(u \right)}}{2} du$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}$$$가 성립한다.

따라서,

$$$\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}} = \frac{1}{\sqrt{5 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 5}}$$$

$$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\frac{1}{\sqrt{5 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 5}}=\frac{\sqrt{5}}{5 \sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}=\frac{\sqrt{5}}{5 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$라고 가정하면, 다음을 얻습니다:

$$$\frac{\sqrt{5}}{5 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{\sqrt{5}}{5 \sinh{\left( u \right)}}$$$

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2} d u}}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$에 적용하십시오:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}$$

다음 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{{\color{red}{u}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}}}}{2}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}} d x} = \frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}} d x} = \frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}}\, dx = \frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}}{2} + C$$$A