$$$\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}}\, dx$$$。

令 $$$x=\frac{\sqrt{5} \cosh{\left(u \right)}}{2}$$$。

則 $$$dx=\left(\frac{\sqrt{5} \cosh{\left(u \right)}}{2}\right)^{\prime }du = \frac{\sqrt{5} \sinh{\left(u \right)}}{2} du$$$（步驟見»）。

此外，由此可得 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}$$$。

所以，

$$$\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}} = \frac{1}{\sqrt{5 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 5}}$$$

使用恆等式 $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{5 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 5}}=\frac{\sqrt{5}}{5 \sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}=\frac{\sqrt{5}}{5 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

假設 $$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$，可得如下：

$$$\frac{\sqrt{5}}{5 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{\sqrt{5}}{5 \sinh{\left( u \right)}}$$$

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2} d u}}}$$

配合 $$$c=\frac{1}{2}$$$，應用常數法則 $$$\int c\, du = c u$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{u}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}}}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}} d x} = \frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}} d x} = \frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}}\, dx = \frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}}{2} + C$$$A