$$$\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$x=\frac{\sqrt{5} \cosh{\left(u \right)}}{2}$$$ とする。

すると $$$dx=\left(\frac{\sqrt{5} \cosh{\left(u \right)}}{2}\right)^{\prime }du = \frac{\sqrt{5} \sinh{\left(u \right)}}{2} du$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}$$$が成り立つ。

被積分関数は次のようになる

$$$\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}} = \frac{1}{\sqrt{5 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 5}}$$$

恒等式 $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$ を用いよ:

$$$\frac{1}{\sqrt{5 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 5}}=\frac{\sqrt{5}}{5 \sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}=\frac{\sqrt{5}}{5 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:

$$$\frac{\sqrt{5}}{5 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{\sqrt{5}}{5 \sinh{\left( u \right)}}$$$

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2} d u}}}$$

$$$c=\frac{1}{2}$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}}}}{2}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}} d x} = \frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}} d x} = \frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 5}}\, dx = \frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} x}{5} \right)}}{2} + C$$$A