$$$\frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$1$$$을(를) $$$\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$$$(으)로 다시 쓰고 사인의 배각 공식($$$\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$$)을(를) 적용하세요.:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

완전제곱식 만들기(단계는 »에서 볼 수 있습니다):

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2}} d x}}}$$

분자와 분모에 $$$\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)$$$를 곱합니다.:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{2}} d x}}}$$

$$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{\prime }dx = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} dx = 2 du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$${\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{u^{2}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{u^{2}} d u}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=-2$$$에 적용합니다:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}=2 {\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}=2 {\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}=2 {\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}=2 {\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}$$

다음 $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1$$$을 기억하라:

$$- 2 {\color{red}{u}}^{-1} = - 2 {\color{red}{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)}}^{-1}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}} d x} = - \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}} d x} = - \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}+C$$

$$$\int \frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}}\, dx = - \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1} + C$$$A