$$$\frac{2 t - 7}{t - 8}$$$의 적분

$$$\int \frac{2 t - 7}{t - 8}\, dt$$$을(를) 구하시오.

피적분함수의 분자를 $$$2 t - 7=2\left(t - 8\right)+9$$$로 다시 쓰고 분수를 분해하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{2 t - 7}{t - 8} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(2 + \frac{9}{t - 8}\right)d t}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(2 + \frac{9}{t - 8}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(\int{2 d t} + \int{\frac{9}{t - 8} d t}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dt = c t$$$을 $$$c=2$$$에 적용하십시오:

$$\int{\frac{9}{t - 8} d t} + {\color{red}{\int{2 d t}}} = \int{\frac{9}{t - 8} d t} + {\color{red}{\left(2 t\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$을 $$$c=9$$$와 $$$f{\left(t \right)} = \frac{1}{t - 8}$$$에 적용하세요:

$$2 t + {\color{red}{\int{\frac{9}{t - 8} d t}}} = 2 t + {\color{red}{\left(9 \int{\frac{1}{t - 8} d t}\right)}}$$

$$$u=t - 8$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(t - 8\right)^{\prime }dt = 1 dt$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dt = du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$2 t + 9 {\color{red}{\int{\frac{1}{t - 8} d t}}} = 2 t + 9 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$2 t + 9 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = 2 t + 9 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

다음 $$$u=t - 8$$$을 기억하라:

$$2 t + 9 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = 2 t + 9 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(t - 8\right)}}}\right| \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{2 t - 7}{t - 8} d t} = 2 t + 9 \ln{\left(\left|{t - 8}\right| \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{2 t - 7}{t - 8} d t} = 2 t + 9 \ln{\left(\left|{t - 8}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{2 t - 7}{t - 8}\, dt = \left(2 t + 9 \ln\left(\left|{t - 8}\right|\right)\right) + C$$$A