Integralen av $$$\frac{2 t - 7}{t - 8}$$$

Bestäm $$$\int \frac{2 t - 7}{t - 8}\, dt$$$.

Skriv om integrandens täljare som $$$2 t - 7=2\left(t - 8\right)+9$$$ och dela upp bråket:

$${\color{red}{\int{\frac{2 t - 7}{t - 8} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(2 + \frac{9}{t - 8}\right)d t}}}$$

Integrera termvis:

$${\color{red}{\int{\left(2 + \frac{9}{t - 8}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(\int{2 d t} + \int{\frac{9}{t - 8} d t}\right)}}$$

Tillämpa konstantregeln $$$\int c\, dt = c t$$$ med $$$c=2$$$:

$$\int{\frac{9}{t - 8} d t} + {\color{red}{\int{2 d t}}} = \int{\frac{9}{t - 8} d t} + {\color{red}{\left(2 t\right)}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ med $$$c=9$$$ och $$$f{\left(t \right)} = \frac{1}{t - 8}$$$:

$$2 t + {\color{red}{\int{\frac{9}{t - 8} d t}}} = 2 t + {\color{red}{\left(9 \int{\frac{1}{t - 8} d t}\right)}}$$

Låt $$$u=t - 8$$$ vara.

Då $$$du=\left(t - 8\right)^{\prime }dt = 1 dt$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dt = du$$$.

Alltså,

$$2 t + 9 {\color{red}{\int{\frac{1}{t - 8} d t}}} = 2 t + 9 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Integralen av $$$\frac{1}{u}$$$ är $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$2 t + 9 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = 2 t + 9 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Kom ihåg att $$$u=t - 8$$$:

$$2 t + 9 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = 2 t + 9 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(t - 8\right)}}}\right| \right)}$$

Alltså,

$$\int{\frac{2 t - 7}{t - 8} d t} = 2 t + 9 \ln{\left(\left|{t - 8}\right| \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{2 t - 7}{t - 8} d t} = 2 t + 9 \ln{\left(\left|{t - 8}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{2 t - 7}{t - 8}\, dt = \left(2 t + 9 \ln\left(\left|{t - 8}\right|\right)\right) + C$$$A