$$$\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$x=\sin{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dx=\left(\sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \cos{\left(u \right)} du$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$u=\operatorname{asin}{\left(x \right)}$$$が成り立つ。

したがって、

$$$\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}} \sin^{2}{\left( u \right)}}$$$

恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ を用いよ:

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}} \sin^{2}{\left( u \right)}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}} \sin^{2}{\left( u \right)}}$$$

$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:

$$$\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}} \sin^{2}{\left( u \right)}} = \frac{1}{\sin^{2}{\left( u \right)} \cos{\left( u \right)}}$$$

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

被積分関数を余割関数を用いて書き換えなさい:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

$$$\csc^{2}{\left(u \right)}$$$ の不定積分は $$$\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u} = - \cot{\left(u \right)}$$$ です:

$${\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cot{\left(u \right)}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{asin}{\left(x \right)}$$$:

$$- \cot{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cot{\left({\color{red}{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} d x} = - \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} d x} = - \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}+C$$

$$$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}\, dx = - \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} + C$$$A