Intégrale de $$$\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}\, dx$$$.

Soit $$$x=\sin{\left(u \right)}$$$.

Alors $$$dx=\left(\sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \cos{\left(u \right)} du$$$ (les étapes peuvent être vues »).

De plus, il s'ensuit que $$$u=\operatorname{asin}{\left(x \right)}$$$.

Par conséquent,

$$$\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}} \sin^{2}{\left( u \right)}}$$$

Utilisez l'identité $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ :

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}} \sin^{2}{\left( u \right)}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}} \sin^{2}{\left( u \right)}}$$$

En supposant que $$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$, nous obtenons ce qui suit :

$$$\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}} \sin^{2}{\left( u \right)}} = \frac{1}{\sin^{2}{\left( u \right)} \cos{\left( u \right)}}$$$

L’intégrale peut se réécrire sous la forme

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

Réécrivez l'intégrande en fonction de la cosécante:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

L’intégrale de $$$\csc^{2}{\left(u \right)}$$$ est $$$\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u} = - \cot{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cot{\left(u \right)}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\operatorname{asin}{\left(x \right)}$$$ :

$$- \cot{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cot{\left({\color{red}{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} d x} = - \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} d x} = - \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}+C$$

$$$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}\, dx = - \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} + C$$$A