$$$\frac{e^{y}}{x}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \frac{e^{y}}{x}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=e^{y}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{y}}{x} d x}}} = {\color{red}{e^{y} \int{\frac{1}{x} d x}}}$$

$$$\frac{1}{x}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$ です:

$$e^{y} {\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}} = e^{y} {\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{e^{y}}{x} d x} = e^{y} \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{e^{y}}{x} d x} = e^{y} \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{y}}{x}\, dx = e^{y} \ln\left(\left|{x}\right|\right) + C$$$A