Intégrale de $$$\frac{e^{y}}{x}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int \frac{e^{y}}{x}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=e^{y}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{y}}{x} d x}}} = {\color{red}{e^{y} \int{\frac{1}{x} d x}}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{x}$$$ est $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$ :

$$e^{y} {\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}} = e^{y} {\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{e^{y}}{x} d x} = e^{y} \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{e^{y}}{x} d x} = e^{y} \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{y}}{x}\, dx = e^{y} \ln\left(\left|{x}\right|\right) + C$$$A