$$$y e^{x}$$$ の $$$y$$$ に関する積分

$$$\int y e^{x}\, dy$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$ を、$$$c=e^{x}$$$ と $$$f{\left(y \right)} = y$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{y e^{x} d y}}} = {\color{red}{e^{x} \int{y d y}}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$e^{x} {\color{red}{\int{y d y}}}=e^{x} {\color{red}{\frac{y^{1 + 1}}{1 + 1}}}=e^{x} {\color{red}{\left(\frac{y^{2}}{2}\right)}}$$

したがって、

$$\int{y e^{x} d y} = \frac{y^{2} e^{x}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{y e^{x} d y} = \frac{y^{2} e^{x}}{2}+C$$

$$$\int y e^{x}\, dy = \frac{y^{2} e^{x}}{2} + C$$$A