$$$960 e^{\frac{x}{120}}$$$の積分

$$$\int 960 e^{\frac{x}{120}}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=960$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{120}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{960 e^{\frac{x}{120}} d x}}} = {\color{red}{\left(960 \int{e^{\frac{x}{120}} d x}\right)}}$$

$$$u=\frac{x}{120}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{120}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{120}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 120 du$$$ となります。

したがって、

$$960 {\color{red}{\int{e^{\frac{x}{120}} d x}}} = 960 {\color{red}{\int{120 e^{u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=120$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$960 {\color{red}{\int{120 e^{u} d u}}} = 960 {\color{red}{\left(120 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$115200 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 115200 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{120}$$$:

$$115200 e^{{\color{red}{u}}} = 115200 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{120}\right)}}}$$

したがって、

$$\int{960 e^{\frac{x}{120}} d x} = 115200 e^{\frac{x}{120}}$$

積分定数を加える:

$$\int{960 e^{\frac{x}{120}} d x} = 115200 e^{\frac{x}{120}}+C$$

$$$\int 960 e^{\frac{x}{120}}\, dx = 115200 e^{\frac{x}{120}} + C$$$A