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$$$\sqrt{x}$$$ の二階導関数
入力内容
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sqrt{x}\right)$$$ を求めよ。
解答
一階導関数 $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)$$$ を求めよ
冪法則 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ を $$$n = \frac{1}{2}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)}$$したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$$$。
次に、$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sqrt{x}\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)$$$
定数倍の法則 $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ を $$$c = \frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$$ に対して適用します:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{2}\right)}$$冪法則 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ を $$$n = - \frac{1}{2}$$$ に対して適用する:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}}{2} = \frac{{\color{red}\left(- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}\right)}}{2}$$したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$$$。
したがって、$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sqrt{x}\right) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$$$。
解答
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sqrt{x}\right) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$$$A