|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Andra derivatan av $$$\sqrt{x}$$$
Relaterade kalkylatorer: Derivata-beräknare, Kalkylator för logaritmisk derivering
Din inmatning
Bestäm $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sqrt{x}\right)$$$.
Lösning
Bestäm den första derivatan $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)$$$
Tillämpa potensregeln $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ med $$$n = \frac{1}{2}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)}$$Alltså, $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$$$.
Därefter, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sqrt{x}\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)$$$
Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ med $$$c = \frac{1}{2}$$$ och $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{2}\right)}$$Tillämpa potensregeln $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ med $$$n = - \frac{1}{2}$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}}{2} = \frac{{\color{red}\left(- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}\right)}}{2}$$Alltså, $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$$$.
Således, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sqrt{x}\right) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$$$.
Svar
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sqrt{x}\right) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$$$A