|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Derivata-beräknare
Beräkna derivator steg för steg
Den webbaserade kalkylatorn beräknar derivatan av valfri funktion med hjälp av de vanliga deriveringsreglerna (produktregeln, kvotregeln, kedjeregeln osv.), med stegvis lösning. Den hanterar polynom-, rationella, irrationella, exponential-, logaritm-, trigonometriska, inversa trigonometriska, hyperboliska och inversa hyperboliska funktioner. Den kan också beräkna derivatan i den givna punkten vid behov. Den stöder även beräkning av första, andra och tredje derivatan, upp till och med den tionde.
Relaterade kalkylatorer: Kalkylator för logaritmisk derivering, Räknare för implicit derivering med steg
Din inmatning
Bestäm $$$\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right)$$$.
Lösning
Tillämpa produktregeln $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ med $$$f{\left(x \right)} = x$$$ och $$$g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \sin{\left(2 x \right)} + x \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)}$$Funktionen $$$\sin{\left(2 x \right)}$$$ är sammansättningen $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ av två funktioner $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ och $$$g{\left(x \right)} = 2 x$$$.
Tillämpa kedjeregeln $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Derivatan av sinus är $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Återgå till den ursprungliga variabeln:
$$x \cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x \cos{\left({\color{red}\left(2 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ med $$$c = 2$$$ och $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Tillämpa potensregeln $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ med $$$n = 1$$$, det vill säga $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$2 x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 2 x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)} + \sin{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Alltså, $$$\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right) = 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$$$.
Svar
$$$\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right) = 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$$$A