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$$$\frac{1}{x}$$$ の二階導関数
入力内容
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\frac{1}{x}\right)$$$ を求めよ。
解答
一階導関数 $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)$$$ を求めよ
冪法則 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ を $$$n = -1$$$ に対して適用する:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$。
次に、$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{d}{dx} \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)$$$
定数倍の法則 $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ を $$$c = -1$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$$$ に対して適用します:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right)}$$冪法則 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ を $$$n = -2$$$ に対して適用する:
$$- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right)} = - {\color{red}\left(- \frac{2}{x^{3}}\right)}$$したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(- \frac{1}{x^{2}}\right) = \frac{2}{x^{3}}$$$。
したがって、$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2}{x^{3}}$$$。
解答
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2}{x^{3}}$$$A
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