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Dérivée seconde de $$$\frac{1}{x}$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivées, Calculatrice de dérivation logarithmique
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\frac{1}{x}\right)$$$.
Solution
Trouvez la dérivée première $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)$$$
Appliquez la règle de la puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = -1$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.
Ensuite, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{d}{dx} \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)$$$
Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = -1$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right)}$$Appliquez la règle de la puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = -2$$$:
$$- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right)} = - {\color{red}\left(- \frac{2}{x^{3}}\right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(- \frac{1}{x^{2}}\right) = \frac{2}{x^{3}}$$$.
Donc, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2}{x^{3}}$$$.
Réponse
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2}{x^{3}}$$$A